viernes, 13 de mayo de 2016

UNIDAD 4: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD


DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 
  • PARA VARIABLES DISCRETAS 
          1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 
          2. DISTRIBUCIÓN DE POISSON 
  • PARA VARIABLES CONTINUAS 
          1. DISTRIBUCIÓN NORMAL 

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 


En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.
Dada una variables aleatoria \scriptstyle X, su función de distribución, \scriptstyle F_X(x), es
F_X(x) = \mathrm{Prob}( X \le x ) = \mu_P\{\omega\in \Omega|X(\omega)\le x\}
Por simplicidad, cuando no hay lugar a confusión, suele omitirse el subíndice \scriptstyle X y se escribe, simplemente, \scriptstyle F(x). Donde en la fórmula anterior:
\mathrm{Prob}\,, es la probabilidad definida sobre un espacio de probabilidad y una medida unitaria sobre el espacio muestral 
\mu_P\, es la medida sobre la σ-álgebra de conjuntos asociada al espacio de probabilidad.
\Omega\, es el espacio muestral, o conjunto de todos los posibles sucesos aleatorios, sobre el que se define el espacio de probabilidad en cuestión.
X:\Omega\to \R es la variable aleatoria en cuestión, es decir, una función definida sobre el espacio muestral a los números reales.

PROPIEDADES

Como consecuencia casi inmediata de la definición, la función de distribución:
  • Es una función continua por la derecha.
  • Es una función monotona no decresiente.
Además, cumple
\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \qquad \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1
Para dos numeros reales  cualesquiera a y b tal que (a < b), los sucesos ( X \le a ) y ( a < X \le b ) son mutuamente excluyentes y su unión es el suceso ( X \le b ), por lo que tenemos entonces que:
P( X \le b ) = P( X \le a ) + P( a < X \le b )
P( a < X \le b ) = P( X \le b ) - P( X \le a )
y finalmente
P(a < X \le b ) = F(b) - F(a)
Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.
Para realizar cálculos es más cómodo conocer la distribución de probabilidad, y sin embargo para ver una representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad .
VARIABLES DISCRETAS 
Se denomina distribución de variable discreta a aquella cuya función de probabilidad sólo toma valores positivos en un conjunto de valores de X finito o infinito numerable. A dicha función se le llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de probabilidad es la suma de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:
F(x) = P( X \le x ) = \sum_{k=-\infty}^x f(k)
Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa la suma de todas las probabilidades desde  -\infty  hasta el valor x.
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
X \sim B(n, p)\,
La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadistica
EJEMPLOS 
  • Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse por esta distribución:Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de tres obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)
  • Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)

CARACTERÍSTICAS ANALÍTICAS
Su funcion de probabilidad es
\!f(x)={n \choose x}p^x(1-p)^{n-x} \,\!
donde x = \{0, 1, 2, \dots , n\},
siendo \!{n \choose x} = \frac{n!}{x!(n-x)!} \,\! las combinaciones de n \,\! en x \,\! (n \,\! elementos tomados de x \,\! en x \,\!)

Ejemplo

Supongamos que se lanza un dado (con 6 caras) 51 veces y queremos conocer la probabilidad de que el número 3 salga 20 veces. En este caso tenemos una X ~ B(51, 1/6) y la probabilidad sería P(X=20):
\!P(X=20)={51 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{51-20} \,\!

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado número de eventos durante cierto período de tiempo. Concreta mente, se especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy pequeñas, o sucesos "raros".
Fue descubierta por Simeon-Denis Poisson, que la dio a conocer en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières criminelles et matière civile (Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles).
La función de masa o probabilidad de la distribución de Poisson es
F(k,\lambda)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}
donde
  • k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
  • λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
  • e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomio de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatoria De hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de tamañon.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos \scriptstyle\lfloor\ \rfloor representan la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es
D_{\mathrm{KL}}(\lambda||\lambda_0) = \lambda \left( 1 - \frac{\lambda_0}{\lambda} + \frac{\lambda_0}{\lambda} \log \frac{\lambda_0}{\lambda} \right).
DISTRIBUCION NORMAL 
En estadística y probabilidad se llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.
La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos. Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno, sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea conocido comométodo correlacional.
La distribución normal también es importante por su relación con la estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:
La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la muestra no es normal. Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos tests estadísticos están basados en una "normalidad" más o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio.
En probabilidad, la distribución normal aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad continuas y discretas. 

La función de distribución de la distribución normal está definida como sigue:
\begin{align} \Phi_{\mu,\sigma^2}(x) &{}=\int_{-\infty}^x\varphi_{\mu,\sigma^2}(u)\,du\\ &{}=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{(u - \mu)^2}{2\sigma^2}}\, du ,\quad x\in\mathbb{R}\\ \end{align}
Por tanto, la función de distribución de la normal estándar es:
\Phi(x) = \Phi_{0,1}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{u^2}{2}} \, du, \quad x\in\mathbb{R}.
Esta función de distribución puede expresarse en términos de una función especial llamada función error de la siguiente forma:
\Phi(x) =\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x}{\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad x\in\mathbb{R},
y la propia función de distribución puede, por consiguiente, expresarse así:
\Phi_{\mu,\sigma^2}(x) =\frac{1}{2} \Bigl[ 1 + \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \Bigr) \Bigr], \quad x\in\mathbb{R}.
El complemento de la función de distribución de la normal estándar, 1 - \Phi(x), se denota con frecuencia Q(x), y es referida, a veces, como simplemente función Q, especialmente en textos de ingeniería.5 6 Esto representa la cola de probabilidad de la distribución gaussiana. También se usan ocasionalmente otras definiciones de la función Q, las cuales son todas ellas transformaciones simples de \Phi.7
La inversa de la función de distribución de la normal estándar  puede expresarse en términos de la inversa de la función de error:
\Phi^{-1}(p) = \sqrt2 \;\operatorname{erf}^{-1} (2p - 1), \quad p\in(0,1),
y la inversa de la función de distribución puede, por consiguiente, expresarse como:
\Phi_{\mu,\sigma^2}^{-1}(p) = \mu + \sigma\Phi^{-1}(p) = \mu + \sigma\sqrt2 \; \operatorname{erf}^{-1}(2p - 1), \quad p\in(0,1).
Esta función cuantil se llama a veces la función probit. No hay una primitiva elemental para la función probit. Esto no quiere decir meramente que no se conoce, sino que se ha probado la inexistencia de tal función. Existen varios métodos exactos para aproximar la función cuantil mediante la distribución normal. 
Los valores Φ(x) pueden aproximarse con mucha precisión por distintos métodos, tales como integración numérica, series de Taylor, series asintóticas y fracciones continuas.

VIDEO
MAPA MENTAL 
EJERCICIO 
Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:
xp i
00,1
10,2
20,1
30,4
40,1
50,1
SOLUCION 
1Calcular, representar gráficamente la función de distribución
f(x)
2Calcular las siguientes probabilidades:
p (X < 4.5)
p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9
p (X ≥ 3)
p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6
p (3 ≤ X < 4.5)
p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5




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